一、背景知識#
1. 數列遞推公式及通項公式#
在數學中，數列是一個有序的數字集合，通常表示為 $a_1, a_2, a_3, \ldots$。數列可以由遞推公式定義，例如 $a_{n+1} = pa_n + q^n$。遞推公式給出了數列中相鄰項之間的關係。通項公式則是數列中任意項的直接表達式，形式通常為 $a_n$。
2. 對矩陣的初步認識#
矩陣是一種表格形式的數據結構，常用於表示線性變換。矩陣的基本運算包括加法、標量乘法和矩陣乘法。矩陣的加法是將兩個同尺寸的矩陣對應位置的元素相加；標量乘法是將矩陣中的每個元素乘以同一個標量；矩陣乘法是將兩個矩陣相乘，得到一個新的矩陣。對於數列問題，我們可以將係數轉換為矩陣，並通過矩陣乘法來簡化遞推關係，進而求解通項公式。
二、引入問題#
假設我們有一個數列，其遞推公式為 $a_{n+1} = pa_n + q^n$，初始條件為 $a_1$。我們要求出數列的通項公式。
常規方法#
我們採用待定係數法求解：
給定遞推關係 $a_{n+1} = pa_n + q^n$
我們的目標是找到一個形式 $a_n + xq^{n+1} = p (a_n + xq^n)$，這樣就可以通過比較兩邊的形式來確定 $x$，進而找到數列的通項公式。
首先，我們把原遞推式改寫為 $a_{n+1} + xq^{n+1} = pa_n + q^n + xq^{n+1}$
然後，我們希望左邊的形式與右邊的形式匹配，即 $a_{n+1} + xq^{n+1} = p (a_n + xq^n)$
這意味著 $pa_n + q^n + xq^{n+1} = pa_n + pxq^n$
通過對比兩邊的項，我們可以得出 $q^n + xq^{n+1} = pxq^n$
$q^n(1 + xq) = pxq^n$
從而得到 $1 + xq = px$
$1 = px - xq$
$1 = x(p - q)$
$x = \frac{1}{p - q}$
所以，如果我們找到了這樣的 $x$，那麼就可以構造新的數列 $b_n = a_n + xq^n$，該數列將滿足一個更簡單的遞推關係 $b_{n+1} = pb_n$。
最後，我們可以求解新的數列 $b_n$ 的通項公式，再通過 $a_n = b_n - xq^n$ 求得原數列 $a_n$ 的通項公式。
具體地，我們有 $b_n = a_n + \frac {q^n}{p-q}$
因為 $b_{n+1} = pb_n$，這是一個等比數列，其通項公式為 $b_n = b_1 \cdot p^{n-1}$
其中 $b_1 = a_1 + \frac {q}{p-q}$
因此 $b_n = (a_1 + \frac {q}{p-q}) \cdot p^{n-1}$
所以 $a_n = (a_1 + \frac {q}{p-q}) \cdot p^{n-1} - \frac {q^n}{p-q}$
這就是數列 $a_n$ 的通項公式 $a_n = (a_1 + \frac {q}{p-q}) \cdot p^{n-1} - \frac {q^n}{p-q}$
三、引發思考#
在求解過程中，我們始終變換的是係數。這種變換是否與某種數學工具有關呢？
實際上，複數和向量的線性運算也有類似的性質。例如，複數可以表示為二維向量，而向量的加法和標量乘法等操作都可以通過矩陣來表示。
複數與向量的線性運算#
複數可以看作二維向量的一個特例，其中實部對應向量的 x 分量，虛部對應 y 分量。複數的加法和乘法運算類似於向量空間中的線性組合。
向量空間中的線性運算包括向量的加法、標量乘法以及向量的線性組合。這些運算可以使用矩陣來表示，矩陣乘法提供了實現這些變換的方法。
示例#
假設我們有兩個複數 $z_1 = a + bi$ 和 $z_2 = c + di$，其中 $a, b, c, d$ 都是實數。
加法#
複數的加法可以表示為 $z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i$
我們可以通過矩陣來表示這個操作 $\begin {pmatrix} a & b \ -b & a \end {pmatrix} + \begin {pmatrix} c & d \ -d & c \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a+c & b+d \ -(b+d) & a+c \end {pmatrix}$
減法#
複數的減法可以表示為 $z_1 - z_2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d) i$
同樣地，我們可以用矩陣來表示 $\begin {pmatrix} a & b \ -b & a \end {pmatrix} - \begin {pmatrix} c & d \ -d & c \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} a-c & b-d \ -(b-d) & a-c \end {pmatrix}$
四、用矩陣解決最開始的問題#
我們再次使用矩陣的方法來解決最初的問題：
定義狀態向量 $\mathbf {s}n = \begin {pmatrix} a_n \ q^n \end {pmatrix}$，構造矩陣 $A = \begin {pmatrix} p & 1 \ 0 & q \end {pmatrix}$，使得 $\mathbf {s}{n+1} = A \mathbf{s}_n$
計算矩陣的幂次 $A^{n-1}$
$A^{n-1} = \begin{pmatrix} p & 1 \ 0 & q \end{pmatrix}^{n-1}$
由於 $A$ 是一個上三角矩陣，其幂次仍然是上三角矩陣，且對角元素分別為 $p$ 和 $q$ 的幂次 $A^{n-1} = \begin {pmatrix} p^{n-1} & * \ 0 & q^{n-1} \end {pmatrix}$
為了找出右上角的元素，我們可以使用數學歸納法 $A^2 = \begin {pmatrix} p^2 & p + q \ 0 & q^2 \end {pmatrix}$
$A^3 = \begin{pmatrix} p^3 & p^2 + pq + q \ 0 & q^3 \end{pmatrix}$
一般地，$A^{n-1} = \begin {pmatrix} p^{n-1} & \sum_{k=0}^{n-2} p^kq^{n-2-k} \ 0 & q^{n-1} \end {pmatrix}$
最終 $\mathbf {s}_n = A^{n-1} \mathbf {s}_1$
通過計算 $\mathbf {s}_n$，我們可以得到 $a_n$ 的表達式。
這樣，矩陣方法為求解遞推數列提供了一種新的視角。
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